Capitolo 11 Filtri di Wiener La teoria formulata da Norbert Wiener dà i fondamenti sui filtri costruibili da dati, otti- mi nel senso dei minimi quadrati. Questi filtri giocano un importante ruolo nelle appli- cazioni a problemi di predizione lineare, ricostruzione dei segnali, identificazione di sistema, equalizzazione di canale.

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Nel primo paragrafo viene formulato e risolto il problema della costruzione del filtro per processi stocastici stazionari a tempo continuo, nel dominio delle frequenze. I risultati vengono applicati a problemi quali la riduzione di rumore additivo ed equalizzazione di canale. Intel 82910gml graphics controller 0 driver. Si mostra poi la configurazione di un sistema per la stima dei coefficienti di Wiener nel dominio delle frequenze. Il secondo paragrafo è dedicato alla derivazione del filtro di Wiener FIR causale per sistemi a tempo discreto; viene discussa la realizzazione di tali filtri per segnali ergodici. Nel terzo paragrafo, infine, si discute la realizzazione di algoritmi adattativi per il filtro di Wiener e si mostra l’algoritmo LMS. Free download games mac os x 10.4 11. 216 Filtri di Wiener 11.1 Formulazione nel Dominio delle Frequenze In questo paragrafo deriviamo il filtro di Wiener, formulando il problema per sistemi stazionari a tempo continuo nel dominio delle frequenze. Il problema può essere posto in questi termini: dati due processi stazionari X(t) e Y (t), determinare il sistema lineare tempo-invariante S tale che la risposta Z(t) = S(Y (t)) sia più “vicina possibile” a X(t) (vedi Figura 11.1).

Il corso di ”Elaborazione numerica dei segnali” viene tenuto per gli allievi del corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni al Politec. • Mc Clellan, J., Schafer, R., Yoder, M., 1998, DSP first, A Multime-dia Approach, Prentice Hall, pp.514. Libro molto elementare, con esempi.

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--Y (t) SISTEMA INCOGNITO Z(t) ≈ X(t) Figura 11.1 Allo scopo di riformulare il problema nel dominio delle frequenze, si considerano le trasformate di Fourier F (ω) e G(ω), rispettivamente dei processi stocastici X(t) e Y (t); indichiamo inoltre con W (ω) la funzione di trasferimento (incognita) del sistema S e con D(ω) la risposta in frequenza del sistema su ingresso G(ω), cos̀ı che: D(ω) = W (w)G(ω). Fissata una particolare realizzazione del processo Y (t), l’errore e(ω) tra la risposta D(ω) e il risultato desiderato F (ω), a una data frequenza ω, è: e(ω) = D(ω)− F (ω). Una ragionevole nozione di distanza tra i due processi D(ω) e F (ω) è l’aspettazione del quadrato del modulo dell’errore, a una data frequenza ω: dist[D(ω), F (ω)] = E[e(ω)e∗(ω)]. Il problema può allora essere riformulato come il seguente problema di ottimizzazione: dati F (ω) e G(ω), per ogni fissato ω determinare W (ω) che minimizza dist[G(ω)W (ω), F (ω)]. Ricordiamo che la condizione necessaria di minimo è: ∂ ∂W (ω) dist[G(ω)W (ω), F (ω)] = 0, (11.1) dove ∂∂W (ω) è l’operazione di derivata complessa, essendo W (ω) in generale a valori com- plessi.